Question

如图：AB是⊙O的直径，AC是⊙O上一条弦，AC在AB下方，在⊙O上存在一点D．
（1）（如图a），当D点在O点在正上方，连接AD、CD、BC、BD，CD交AB于E，则，在图中你可以发现多少对相似三角形？请列举出来，并说明理由．
（2）①（如图b），当D点在劣弧上运动（不与B、C重合）则AD______AC（在横线上填写“＞”、“＜”或“=”）并说明理由；
②（如图c），当D点在劣弧上运动（不与A、C重合）则AD______AC（在横线上填写“＞”、“＜”或“=”）并说明理由；
（3）如图d，以B点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，∠DCA=∠CBA=60°，连接BD，过C点作CE∥DB，求证：四边形CDBE为平行四边形．

Answer

（1）图中，点A、B、C、D分圆所得的四段弧，所对的四组圆周角相等，根据这四组等角即可证得△ADE∽△CBE、△DEB∽△AEC．
（2）当D在劣弧BC上时，连接BD，显然∠BDC＞90°，故BD＞BC；在Rt△ABC和Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，AC2=AB2-BC2，上面已经证得BD＞BC，故AD＜AC；
当D在劣弧AC上时，解题思路同上．
（3）已知CE∥BD，只要证得CD∥BE即可．由于∠DCA=∠CBA=60°，故弧AD=弧CD，根据垂径定理知AB⊥CD，而AB⊥BE，由此可得CD∥BE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得所求的结论．
【解析】
（1）相似三角形△ADE和△CBE，△DEB和△AEC（2分）
∵=，∴∠ADE=∠CBE，
又∵∠DEA=∠BEC，∴△ADE∽△CBE（3分）
另两个三角形同理可证．（4分）

（2）①AD＞AC．（5分）
证明：连接BD；
∵在圆O中AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴AD2=AB2-BD2，AC2=AB2-BC2（6分）
又∵在△BDC中，∠BDC是优弧所对的角，
∴∠BDC＞90°，∴BC＞BD，
∴AD＞AC；（7分）
②AD＜AC；（8分）
证明同上．（10分）

（3）证明略，请老师们酌情扣分．（12分）
证明：∵∠DCA=∠CBA=60°，
∴，
∴AB⊥CD；
又∵AB⊥BE，则CD∥BE；
已知CE∥BD，故四边形CDBE是平行四边形．