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如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=60°,AD=3cm,...

如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=60°,AD=3cm,BC=9cm.⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A-D-C以1cm/s的速度向点C运动,⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以manfen5.com 满分网cm/s的速度向点A运动,⊙O1半径为2cm,⊙O2的半径为4cm,若O1,O2分别从点A、点B同时出发,运动的时间为ts.
(1)设经过t秒,⊙O2与腰CD相切于点F,过点F画EF⊥DC,交AB于E,则EF=______
(2)过E画EG∥BC,交DC于G,画GH⊥BC,垂足为H.则∠FEG=______
(3)求此时t的值;
(4)在0<t≤3范围内,当t为何值时,⊙O1与⊙O2外切?

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(1)当⊙O2与腰CD相切时,EF的长为⊙O2的半径,故EF的长为4cm; (2)通过画图可知:△CGH为直角三角形,由∠CGH+∠EGF=90°,∠EGF+∠FEG=90°,可得:∠FEG=∠CGH,在Rt△CGH中,已知∠C,从而可求出∠FEG; (3)在Rt△EFG中,可将EG的长度的长度表示出来,已知∠FEG的度数,根据三角函数值可将t求出; (4)作辅助线,连接两圆心,将O1A、O2A的长表示出来,在Rt△O1O2A中,根据勾股定理可将时间t求出. 【解析】 (1)∵当⊙O2与腰CD相切时,EF的长为⊙O2的半径, ∴EF=4cm; (2)∵∠CGH+∠EGF=90°,∠EGF+∠FEG=90°, ∴∠FEG=∠CGH, 在Rt△CGH中,∠C=60°, ∴∠CGH=30°, ∴∠FEG=30°; (3)设点O2运动到点E处时,⊙O2与腰CD相切.依题意画图,如图所示, 在直角△CGH中,∠C=60°,∠CGH=30°,GH=, ∴CH=t,BH=GE=9-t; 在Rt△EFG中,∠FEG=30°,EF=4,GE=9-t; 在Rt△EFG中,EF=GE×cos∠FEG,即:4=(9-t)×; ∴t=(9-)秒; (4)由于0<t≤3,所以,点O1在边AD上, 如图所示,连接O1O2,由两圆外切可知O1O2=6cm; AB=(BC-AD)×tan60°=6×=6, ∴O2A=6-t, 在Rt△O1O2A中,由勾股定理得:t2+(6-t)2=62,即t2-9t+18=0, 解得t1=3,t2=6(不合题意,舍去) ∴经过3秒,⊙O1与⊙O2外切. 故答案为:4cm;30°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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