Question

如图，小明把一张长为20cm，宽为10cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子．设剪去的正方形边长为x （cm），折成的长方体盒子的侧面积为y （cm²），底面积为S （cm²）．
（1）求S与x之间的函数关系式，并求S=44 （cm²）时x的值；（结果可保留根式）
（2）求y与x之间的函数关系式；在x的变化过程中，y会不会有最大值？x取何值时取得最大值，最大值是多少？

Answer

（1）由图可知：长方体盒子的底面的长和宽分别是原矩形的长和宽减去两个小正方形的边长，根据矩形的面积=长×宽，我们可得出一个关于正方形边长x的方程．从而求解．
（2）长方体盒子的侧面积是四个小矩形，都是以正方形的边长为宽，以盒子的底面的长或宽为长，根据这个关系，我们可列出关于侧面积和正方形边长x的函数关系式，然后根据函数的性质来求出这个最值．
【解析】
（1）S=（10-2x）（20-2x）=4x2-60x+200，（3分）
4x2-60x+200=44，x2-15x+39=0，
x1=，x2=（舍）；（5分）

（2）y=2x（20-2x）+2x（10-2x）=-8x2+60x，（8分）
当x==3.75时，y有最大值=112.5cm2．（10分）