Question

如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由；
（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由；
（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由；
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．

Answer

（1）由AB=CB，∠ABE=∠CBP，BE=BP，可证：△CPB≌△AEB，故在图中存在两个全等的三角形；
（2）△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB，故这两个三角形通过旋转能够互相重合；
（3）由∠ABE=∠CBP，∠CBP+∠ABP=90°，可得：∠ABP+∠ABE=90°，故PB⊥BE；
（4）在Rt△PBE中，BE=BP，可得：∠BPE=45°，PE=PB；又∠APB=135°可得：∠APE=90°，故在Rt△APB中，运用勾股定理可将AE的长求出．
【解析】
（1）存在，△CPB≌△AEB．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△CPB≌△AEB；

（2）能重合．△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB；

（3）PB⊥BE．
理由如下：由（1）知：△CPB≌△AEB，
∴∠ABE=∠CBP，
∵四边形ACBD是正方形，
∴∠ABC=90°即∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠ABE+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE；

（4）连接PE，
∵PB=EB，
∴∠BPE=∠BEP，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，，
在Rt△APE中，．