Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，点O在AB上，经过A、D两点的⊙O交AB于E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．

Answer

（1）要证明BC是⊙O的切线只要证明OD⊥BC即可；
（2）由勾股定理可求得AB的长，过C作CH⊥AB于H，从而可求得CH的值．再利用三角形的面积公式S△ABC=S△OBC+S△OAC可求得半径的长．
证明：（1）连接OD，（1分）
∵∠BAC的平分线AD交BC于D，
∴∠OAD=∠CAD；
又∵∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CDA，
∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，（3分）
∴BC是⊙O的切线．（4分）

【解析】
（2）∵AC=6，BC=8，
∴AB=10；
过C作CH⊥AB于H，
则CH==，（5分）
连接OC，设⊙O的半径为r；
则S△ABC=S△OBC+S△OAC=，（6分）
∴，
∴．（8分）