Question

某公司试销一种成本单价为400元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似的看作一次函数y=kx+b的关系．
（1）根据图象，求一次函数的表达式．
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本价）为S元．
①试用销售单价x表示毛利润S；
②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润，最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

Answer

（1）根据图象可得：一次函数图象上有两个已知点（600，400），（700，300），将这两个点代入一次函数即可得到一次函数的表达式．
（2）①分别算成销售总价和成本价，然后用毛利润=销售总价-成本价得到x与s的表达式．
②根据二次函数的性质和自变量x的取值范围得到函数值S的变换情况，然后得出S的最大值．
【解析】
（1）将（600，400）和（700，300）代入一次函数得k=-1，b=1000．
则一次函数表达式为：y=-x+1000；

（2）①当销售价为x时，由第一问得此时销售总量为：-x+1000，
则销售总价为：（-x+1000）x，成本价为：（-x+1000）×400；
所以毛利润为：S=（-x+1000）x-（-x+1000）×400=-x2+1400x-40000（400＜x＜800）．
②将①得到的S的表达式化简为：S=-（x-700）2+90000；
则当x=700时，S有最大值，所以当x=700时S的取值最大为：90000．