Question

如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、C两点的坐标分别是（-1，0）、（0，-）．
求：（1）圆心M的坐标；
（2）如图，P是弧BC上一动点，Q为弧PC的中点，直线AP、DQ交于点G，当点P在弧BC上运动时（不包括B、C两点），AG的长度是否发生变化？若变化，请指出变化范围，若不变化，请求出其值．

Answer

（1）圆心M就是AC的中垂线与x轴的交点，求得OM的长即可；
（2）求证∠ADG=∠AGD，得出AG=AD，由垂径定理得出AD=AC=2，即可求出答．
【解析】
（1）在直角△AOC中，OA=1，OC=
根据勾股定理即可求得：AC=2，∠OAC=60°
∵作AC的中垂线DM，垂足是D，与x轴的交点就是M，
∴AM=CM，
∴△AMC是等边三角形，
在直角△ACM中，AM=AC=2，
∵OA=1，
∴OM=1，则M的坐标是（1，0）；

（2）【解析】
长度不变而且AG=AC=2，
∵Q为弧PC中点，
∴∠CDQ=∠PDQ，
又∵∠DCA=∠Q，
∴∠CDA+∠CDQ=∠Q+∠QAP，
即∠AGD=∠ADG，
∴AD=AG，
∴AC=AG=2，
即无论他怎么移动，AC是固定的长度，
所以AG长度同样固定，
AG=AC=2．