Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，3）、B（0，3）、C（4，-5）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当x为何值时，y＞3；
（3）试确定△ABC的外接圆圆心M的坐标．

Answer

（1）将A、B、C三点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）易知A（2，3），B（0，3），由图知，当抛物线上的点在B、A之间时，纵坐标都大于3，由此可得当0＜x＜2时，y＞3；
（3）作△ABC任意两边的中垂线，两条垂直平分线的交点即为所求的M点；由于AB的垂直平分线是抛物线的对称轴方程，那么点M必在抛物线的对称轴上，可据此设出点M的坐标；然后根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出MB、MC的长，由于三角形的外心到三个顶点的距离相等，那么MB=MC，由此可列出关于M点纵坐标的方程，从而求出M点的坐标．
【解析】
（1）∵y=ax2+bx+c的图象经过A（2，3）、B（0，3）、C（4，-5）三点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

（2）∵A（2，3），B（0，3），
∴当0＜x＜2时，y＞3；

（3）分别作AB于BC的中垂线，交点为M，点M即为圆心；
连接MB、MC，设M（1，yM），
∵MB2=1+（3-yM）2，MC2=（yM+5）2+9，
∴1+（3-yM）2=（yM+5）2+9，
∴yM=-，
∴△ABC的外接圆的圆心的坐标为M（1，-）．