Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=10，高AG=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．F是腰AB上的一点，且EF⊥AB、连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△BAG；
（2）当点E在线段BC上运动时，设BE=x．△DEF的面积为y．①请你求出y和x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②求当x为何值时，y有最大（小）值．

Answer

（1）要证明△BEF∽△BAG，有“两对角相等，两三角形全等”得出结论；
（2）根据△BEF∽△BAG，得出BF=x，EF=x，作DM⊥AB于M，得△BEF∽△ADM，求得DM，分别表示出△ADF、△BEF、△DCE的面积，再用梯形ABCD的面积减去△ADF、△BEF、△DCE的面积之和，即是所求三角形的面积，利用二次函数的最值问题求出y的最大值．
【解析】
（1）∵AG⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AGB=∠EFB=90°，∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAG；

（2）∵△BEF∽△BAG，
∴BF=x，EF=x，
作DM⊥AB于M，得△BEF∽△ADM，
∴=，
∴DM=，
∴S△DAF=8-，
∵S梯形ABCD=28，S△DEC=20-2x，
∴y=S梯形ABCD-S△BEF-S△DEC-S△DAF=-x2+x，
∵当点F于点A重合时BF最长，此时x=5，解得x=，
∴0＜x≤，
∴当x=，y有最大值．