Question

如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点A（8，14）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴上的任意一点，分别连接AC、BC．试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由．

Answer

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式的二次函数通式设出抛物线的解析式．然后根据A点的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出B、C、D的坐标．
（3）如果延长AC交y轴于E点．根据A、C的坐标可求出直线AC的解析式，不难得出E点的坐标，这时可发现E点正好和B点关于x轴对称，也就是说x轴是线段BE的垂直平分线，因此x轴上任意点到B、E两点的距离都相等，那么AE=AC+BC，AP+PC=AP+PE，因此本题要分两种情况进行讨论：
①当P、C重合时，此时AC+BC=AP+PC
②当P、C不重合时，在三角形AEP中，根据三角形三边之间的关系可得出AP+PE＞AE，根据前面分析的结论可得出AP+PC＞AC+BC．
综合上述两种情况：AP+BP≥AC+BC．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-）2-
∵抛物线经过A（8，14），
∴14=a（8-）2-，
解得：a=
∴y=（x-）2-（或）

（2）令x=0得y=2，
∴B（0，2）
令y=0得x2-x+2=0，
解得x1=1、x2=4
∴C（1，0）、D（4，0）

（3）结论：PA+PB≥AC+BC
理由是：①当点P与点C重合时，有PA+PB=AC+BC
②当点P异于点C时，
∵直线AC经过点A（8，14）、C（1，0），
∴直线AC的解析式为y=2x-2
设直线AC与y轴相交于点E，令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2），
则点E（0，-2）与B（0，2）关于x轴对称
∴BC=EC，连接PE，则PE=PB，
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC
综上所得AP+BP≥AC+BC．