Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交X轴于D点，过D点作DF⊥AE于F．
（1）求OA和OC的长；
（2）求证：OE=AE；
（3）求证：DF是⊙O′的切线；
（4）在边BC上是否存在除E点以外的P点，使△AOP是等腰三角形？如果存在，请写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据矩形面积公式得方程求解；
（2）由E是BC中点，OC=AB，∠C=∠B可证△ABE≌△OCE，则OE=AE得证；
（3）连接O′D，证∠O′DF=90°．
（4）分别以∠AOP、∠OAP为顶角讨论P点位置求解．
（1）【解析】
设OC=x，则OA=x+2，根据题意得
x（x+2）=15．
解得x=3，即OC=3．则OA=5．

（2）证明：∵E为BC的中点，
∴CE=BE．
又OC=AB，∠OCE=∠B=90°，
∴△ABE≌△OCE，
∴OE=AE．

（3）证明：连接O′D．
∵OE=AE，O′O=O′D，
∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．
∵DF⊥AE，∴∠EAO+∠ADF=90°．
∴∠O′DO+∠ADF=90°．
∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切线；

（4）【解析】
存在．如图所示．
①当AP=AO时，BP=4，则CP=1，所以P（1，3）；
②当OP=OA时，CP=4，所以P（4，3）．