Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面积为36，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，点P到达点C时，Q点随之停止运动．
（1）线段CD的长为______；
（2）设P、Q运动时间为t（0＜t＜5）秒，PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应时间；若没有，请说明理由．

Answer

（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，则四边形ADFE是矩形，△ABE≌△DCF，由勾股定理可求得CD的值；
（2）过点P作PG⊥BC于点G，则PG是△PCQ的高，由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式，而CQ=2t，故可求得S与t的关系式；
（3）分两种情况讨论：当PQ⊥BC时，作DE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可求解；当QP⊥CD时，可由相似三角形的性质求解．
【解析】
（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分为点E、F，则四边形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF，
由题意四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴CF=BE=（BC-EF）÷2=3
∵梯形的面积为36，
∴DF=36×2÷（AD+BC）=36×2÷（6+12）=4
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD==5；

（2）过点P作PG⊥BC于点G，则PG是△PCQ的高，有PG∥DF，
∴PG：DF=CP：CD，
∵DP=t，CD=5，DF=4，PC=CD-DP
∴PG=，
∵CQ=2t，
∴S△PCQ=CQ•PG=•2t•=

（3）当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况：
①当PQ⊥BC时，作DE⊥BC于E，

∴PQ∥DE，
∴=，
∴=，
∴t=（7分）
②当QP⊥CD时，

∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△QPC∽△DEC，
∴=，=，
∴t=（9分）
由①、②知：当t=或时，P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形