Question

关于x，y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数解为    ．

Answer

先将方程配方，可知x、y是在以（104，-104）为圆心，104为半径的圆上的点，然后用参数方程表示，分情况讨论．
【解析】
方法1：x2+y2=208（x-y）
x2-208x+1042+y2+208y+1042=2×1042
（x-104）2+（y+104）2=2×1042
这是一个以（104，-104）为圆心，104为半径的圆，可用参数方程表示为：
=sinθ，=cosθ
x=104sinθ+104=104（sinθ+1），y=104cosθ-104=104（cosθ-1）
x、y都是正整数，那么104（sinθ+1）和104（cosθ-1）同时为正整数
sinθ＞-，cosθ＞，且sinθ和cosθ值的分母是104的约数，分子是的整数倍
（1）分母为2：（A）2+（B）2=1
A2+B2=2
A=±1，B=±1，（舍去）
（2）分母为4：（A）2+（B）2=1
A2+B2=8
A=±2，B=±2，（舍去）
（3）分母为8：（A）2+（B）2=1
A2+B2=32
A=±4，B=±4，（舍去）
（4）分母为13：（A）2+（B）2=1
A2+B2=，（舍去）
（5）分母为26：（A）2+（B）2=1
A2+B2=338
A=±7，B=±17，或者A=±17，B=±7，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合
（6）分母为52：（A）2+（B）2=1
A2+B2=1352
A=±14，B=±34，或者A=±26，B=±26，（舍去）
或者A=±34，B=±14，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合．
方法2：x2+y2=208（x-y）
x2-208x+1042+y2+208y+1042=2×1042
（x-104）2+（y+104）2=2×1042
∵2×1042是偶数，（x-104），（y+104）有相同的奇偶性
∴x，y具有相同的奇偶性
∵x2+y2=208（x-y）
∴x，y均为偶数
令x=2a，y=2b，则（a-52）2+（b+52）2=2×522，a2+b2=104（a-b）
同理，令a=2c，b=2d，则（c-26）2+（d+26）2=2×262，c2+d2=52（c-d）
令c=2s，d=2t，则（s-13）2+（t+13）2=2×132，（s，t为正整数）
可得正整数解只有（s-13）2=72，（t+13）2=172
即s=20或6，t=4
故x=8s=160或48，y=8t=32