Question

如图，正方形ABCD的边长为1，当点E在边BC上运动时（不与正方形的顶点重合），连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．设BE=x，CF=y，求下列问题：
（1）证明△ABE∽△ECF；
（2）求出y关于x的函数关系式；
（3）试求当x取何值时？y有最大或最小值，是多少？

Answer

（1）根据正方形的内角为90°，以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，继而得出结论．
（2）由三角形相似，得出比例关系，代入数值计算即可．
（3）把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．
【解析】
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴
∵BE=x，CF=y，正方形ABCD的边长为1，
则CE=1-x，
∴，
∴y=-x2+x．

（3）由（2）得y=-x2+x，
∴，
∴可知抛物线的顶点为（），开口向下，
∴x=时，y最大=．