Question

如图，在半径是2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在NQ上有一动点P，且点P到弦MN的距离为x．
（1）求弦MN的长；
（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）试分析比较，当自变量x为何值时，阴影部分面积y与S_扇形OMN的大小关系．

Answer

（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得出△OMN是等边三角形，即OM=ON=MN=2；
（2）根据三角形的面积公式，即可列出y，x的函数关系式；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等，可以过点O作OP′∥MN，以此线段为分界线进行分情况讨论．
【解析】
（1）∵OM=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∴MN=OM=ON=2；

（2）由三角形面积公式可得y=S△PMN=×2x；
即：y=x（0≤x≤2+）．

（3）令y=S扇形OMN，即x=π；
∴x=π，
当x=π时，y=S扇形OMN；
当0≤x＜π时，y＜S扇形OMN；
当π＜x≤2+，y＞S扇形OMN．
注：过O作OP′∥MN交⊙O上一点P′，依等积关系得：x=π，即可下结论．