Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为x=-．

Answer

（1）可在直角三角形BOA中，根据AB的长和∠AOB的度数，求出OA的长．根据折叠的性质可知：OC=OA，∠COA=60°，过C作x轴的垂线，即可用三角形函数求出C点的坐标；
（2）根据（1）求出的A，C点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）根据等腰梯形的性质，如果过M，P两点分别作底的垂线ME和PQ，那么CE=PQ，可先设出此时P点的坐标，然后表示出M点的坐标，CE就是C点纵坐标与M点纵坐标的差，QD就是P点纵坐标和D点纵坐标的差．由此可得出关于P点横坐标的方程，可求出P点的横坐标，进而可求出P点的坐标．
【解析】
（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=
由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=
∴∠COH=60°，OH=，CH=3
∴C点坐标为（，3）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、A（，0）两点，
∴，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：y=-x2+2x．
解法一：（3）存在．
因为的顶点坐标为（，3）
所以顶点坐标为点C（8分）
作MP⊥x轴，垂足为N，
设PN=t，因为∠BOA=30°，
所以ON=t
∴P（t，t）（9分）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把t代入
得：y=-3t2+6t
∴M（t，-3t2+6t），E（，-3t2+6t）（10分）
同理：Q（，t），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD（这时△PQD≌△MEC）
即3-（-3t2+6t）=t-1，解得：，t2=1（不合题意，舍去）（11分）
∴P点坐标为（，）（12分）
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）；
解法二：

（3）存在．
由（2）可得：=得顶点坐标为（，3），
即点C恰好为顶点；（8分）
设MP交x轴于点N，
∵MP∥y轴，CH为抛物线的对称轴
∴MP∥CD且CM与DP不平行
∴四边形CDPM为梯形
若要使四边形CDPM为等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°，则∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°，
∴∠MCD=∠BCD，
∴此时点M为抛物线与线段CB所在直线的交点（9分）
设BC的解析式为y=mx+n
由（2）得C（，3）、B（，2）
∴
解得：
∴直线BC的解析式为（10分）
由
得，
∴ON=（11分）
在Rt△OPN中，tan∠PON=得
∴P点坐标为（，）（12分）
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标为（，）．