Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S_△PAB=8，并求出此时P点的坐标；
（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了抛物线过B、C两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式．
（2）根据（1）中得出的抛物线的解析式，可求得A点的坐标，也就能得出AB的长．△PAB中，AB的长为定值，那么可根据△PAB的面积求出P到AB的距离，即P点纵坐标的绝对值，然后将其代入抛物线的解析式中（分正负两个值）即可求出P点的坐标．
（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC，直线BC与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0），
∴
解得．
∴所求解析式为y=x2-2x-3．

（2）设点P的坐标为（x，y），
由题意：S△PAB=×4|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
当y=4时，x2-2x-3=4，
∴x1=2+1，x2=-2+1；
当y=-4时，x2-2x-3=-4，∴x=1，
∴满足条件的点P有3个，
即（2+1，4），（-2+1，4），（1，-4）．

（3）在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
∵点A关于对称轴直线x=1的对称点是（3，0），
∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点，
设过点B，C的直线的解析式y=kx-3，把B（3，0）代入，
∴3k-3=0，
∴k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
把x=1代入上式，
∴y=-2，
∴Q点坐标为（1，-2）．