Question

如图，一次函数y=x-5分别交x轴、y轴于A、B两点，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（E点位于D点上方），DE=．
①若点D的横坐标为t，用含t的代数式表示D、E的坐标；
②抛物线上是否存在点F，使点F与点D关于x轴对称，如果存在，请求出△AEF的面积；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据直线的解析式求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）可先根据OA，OB的比例关系，求出D，E两点的纵坐标差与横坐标差的比例关系，然后根据DE的长求出这两个差值．进而可表示出D，E两点的坐标．然后可根据F，D关于y轴对称，表示出F点的坐标，已知F点在抛物线上，可据此求出t的值，即可求出D，E两点的坐标．进而可求出三角形AEF的面积．
【解析】
（1）由题意可得A（5，0）B（0，-5）
代入解析式y=-x2+bx+c
解得，
∴解析式为：y=-x2+6x-5．

（2）①作DQ∥y轴EQ⊥DQ
∵OA=5，OB=5
∴△OAB为等腰直角三角形
△DEQ∽△BAO
∵△DQE为等腰直角三角形
∴DE=，
∴DQ=EQ=1
∴D（t，t-5）
E（t+1，t-4）
②∵F与D关于x轴对称
∴F（t，5-t）代入抛物线解析式
得5-t=-t2+6t-5
解得t1=2  t2=5
∵D、E异于A、B两点
∴t=5舍去
∴t=2，
∴F（2，3），D （2，-3），E （3，-2），
∴AE=2，EF=，AF=3，
∴AE2+AF2=EF2，
∴∠EAF=90°，
∴S△AEF=2×3×=6．