Question

如图，抛物线y=ax²+2ax-b与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，且A（-4，0），OC=2OB．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图①，作矩形ABDE，使DE过点C，点P是AB边上的一动点，连接PE，作PF⊥PE交BD于点F．设线段PB的长为x，线段BF的长为．当P点运动时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围，在同一直角坐标系中，该函数的图象与图①的抛物线中y≥0的部分有何关系？
（3）如图②，在图①的抛物线中，点H为其顶点，G为抛物线上一动点（不与H重合），取点N（-1，0），作MN⊥GN且（点M、N、G按逆时针顺序），当点G在抛物线上运动时，直线AM、GH是否存在某种位置关系？若存在，写出并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的解析式，可确定其对称轴方程，根据抛物线的对称轴即可确定B点坐标；已知了OB、OC的数量关系，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）由于PE⊥PF，可证得Rt△AEP∽Rt△BPF，根据相似三角形的对应边成比例得到y与x的函数关系式，再和抛物线的图象比较得出二者的关系；
（3）连接HN，由（1）的抛物线知：N点位于抛物线的对称轴上，即HN⊥x轴，根据H点的坐标，易求得HN=，根据A、N的坐标可知AN=3，由此可得到AN：NH=MN：NG=2：3，而∠ANM和∠HNG是同角的余角，由此可证得△HNG∽△ANM，则∠AMN=∠HGN；若延长HG、MA，设两直线的交点为S；由于∠HGN和∠SGN互补，则∠AMN和∠SGN互补，根据四边形的内角和为360°，可证得∠S和∠GNM互补，而∠GNM是直角，所以∠S也应是直角，由此可证得AM、GH的位置关系是互相垂直．
【解析】
（1）∵y=ax2+2ax-b，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
∵A（-4，0），
∴B（2，0），
∵OC=2OB=4，
∴C（0，4）
∴，
∴
则y=x2-x+4．

（2）∵四边形ABDE为矩形，PF⊥PE，
∴Rt△AEP∽Rt△BPF；
∴，
即，
∴y=x2+3x，（0≤x≤6）．
又∵y=x2+3x=（x-3）2+，y=x2-x+4=（x+1）2+，
∴图①的抛物线中，y≥0时，-4≤x≤2，
将抛物线y=x2-x+4中y≥0的部分向右平移4个单位得到y=x2+3x，（0≤x≤6）；

（3）AM⊥GH，理由如下：
连接HN并延长交AM延长线于点T，设直线AM、GH交于点S；
∵点H为抛物线y=x2-x+4的顶点，
∴H（-1，），且A（-4，0），N（-1，0）
∴AN=3，HN=，且MN=GN；
∴MN：NG=AN：HN=2：3；
又∵∠ANM=∠GMH=90°-∠GNA，
∴△AMN∽△HGN，得∠HGN=∠AMN；
∵∠SGN+∠HGN=180°，
∴∠SGN+∠AMN=180°；
∴∠S+∠GNM=180°，即∠S=90°；
∴AM⊥GH．