Question

某商场试销一种成本为50元的产品，规定在试销期间单价不低于成本价又不高于80元，在销售过程中发现，销售量y（件）与销售单价x（元）之间可以近似看做一次函数y=kx+b关系，如图所示．
（1）根据图象求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）如果设该商场在试销这种产品时获得的利润为M元．试写出利润M（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）试问销售单价定为多少元时，该商场可获得最大利润？最大利润是多少？此时销售量是多少件？

Answer

（1）根据“两点法”列方程组求k、b的值即可；
（2）根据：利润M=（销售单价-成本单价）×销售量y，列函数式即可；
（3）根据利润M的函数关系式，结合函数的性质，求最大利润．
【解析】
（1）把点（60，40），（70，30）代入y=kx+b中，得
，
解得
∴y=-x+100（50≤x≤80）；

（2）M=（x-50）y=（x-50）（-x+100）
即：M=-x2+150x-5000（50≤x≤80）；

（3）因为M=-x2+150x-5000=-（x-75）2+625，-1＜0，抛物线开口向下，
所以，销售单价定为75元时，该商场可获得最大利润为625元，
此时销售量y=-x+100=-75+100=25件．