Question

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
（1）某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图2）
问题．试在图3的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由．
（2）类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面a将一个体积为V的图形分成体积为V₁、V₂的两个图形，且，则称直线a为该图形的黄金分割面．
问题：如图4，长方体ABCD-EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点，证明经过T点且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面．

Answer

（1）如图，先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G，过点G作一条直线L交AD于点M，交BC于N，则MN就是梯形的黄金分割线．
（2）根据AT：AB=TB：AT，进而推出S矩形QRST=S矩形BCGF因为AT×S矩形QRST：AB×S矩形BCGF=TB×S矩形ADHE：AT×S矩形QRST从而不难求得截面QRST是长方体的黄金分割面．
【解析】
（1）如图，先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G，过点G作一条直线L交AD于点M，交BC于N，则MN就是梯形的黄金分割线．
∵EG：EF=GF：EG，
∴EG×h：EF×h=GF×h：EG×h，
∵S梯形ABNM=EG×h，S梯形MNCD=GF×h，S梯形ABCD=EF×h（h是梯形的高），
∴S梯形ABNM：S梯形ABCD=S梯形NMCD：S梯形ABNM，
∵直线L是过G的任意一条与AD，BC都相交的直线，
∴符合题意的黄金分割线有无穷多条．

（2）∵AT：AB=TB：AT，
∴S矩形QRST=S矩形BCGF，
∵AT×S矩形QRST：AB×S矩形BCGF=TB×S矩形ADHE：AT×S矩形QRST，
即截面QRST将体积为V的长方体，分成左右两块体积分别是V1，V2，
∴V1：V=V2：V1，
∴截面QRST是长方体的黄金分割面．