Question

如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a＞0）．
（1）求∠APB的度数；
（2）求正方形ABCD的面积．

Answer

（1）已知PA=a，PB=2a，PC=3a，并不在同一个三角形中，因为AB=BC，可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，连接PQ，构成两个特殊三角形，可求∠APB的度数；
（2）用（1）的结论，证明∠APQ=180°，得出△AQC是直角三角形，根据AQ，QC的长及勾股定理求AC，从而可求正方形ABCD的面积．
【解析】
（1）将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，如图，
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB，
于是PB=QB=2a，PQ=2a，
在△PQC中，
∵PC2=9a2，PQ2+QC2=9a2，
∴PC2=PQ2+QC2．
∴∠PQC=90°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°，故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°；

（2）∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，
∴三点A、P、Q在同一直线上，
在Rt△AQC中，AC2=AQ2+QC2=（a+2a）2+a2=（10+4）a2，
∴正方形ABCD的面积=（5+2）a2．