Question

下表给出了代数式x²+bx+c与x的一些对应值：

x	…	-1		1	2	3	4	…
X^2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，并填齐表格中空白处的对应值；
（2）代数式x²+bx+c是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由；
（3）设y=x²+bx+c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，P点为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连接PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标．

Answer

（1）根据图表中已知的三组数据，用待定系数法即可求出b、c的值；进而可由抛物线的解析式填齐空白处的对应值；
（2）根据（1）所得函数的解析式，可用配方法或公式法求出其最小值；
（3）由于△PEC的面积无法直接得出，所以要转化为其他图形面积的和差来解；可设出P点的坐标，过E作EM⊥x轴于M，易证得△BPE∽△BAC，那么它们的对应高等于相似比，由此可求出EM的表达式；那么△PEC的面积可由△ABC、△BPE、△APC的面积差求得，也就得到了关于△PEC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的P点坐标．
【解析】
（1）由题意知：
解得b=-4（1分）

x … -1 1 2 3 4 …
X2+bx+c …  8 3  0 -1  0 3 …

（2）∵x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1
∴x2-4x+3有最小值，最小值为-1；（3分）

（3）由（1）可知，点A、B的坐标分别为（1，0），（3，0）、设点P的坐标为（x，0），过点E作EM⊥x轴于点M，
∵PE∥AC，∴△EPB∽△CAB
∵EM、CO分别为△EPB与△CAB边上的高，
∴（4分）
∵CO=3，AB=2，PB=3-x，∴（5分）
∴S△PEC=S△PBC-S△PBE=PB•CO-PB•EM（6分）
==（7分）
∴当x=2时，S有最大值；
∴当点P的坐标为（2，0）时，△PEC的面积最大．（8分）