Question

已知：如图，BC为⊙O的弦，OA⊥BC于E，交⊙O于A，AD⊥AC于A，∠D=2∠B=60°．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）当BC=6时，求阴影部分的面积．

Answer

（1）连OC，由垂径定理得到AB=AC，这样可求出∠OCA和∠ACD，就可得到∠OCD=90°．
（2）通过图形变换，阴影部分的面积等于三角形ADC的面积，求出△ACD的面积即可．
（1）证明：连OC，
∵BC为⊙O的弦，OA⊥BC于E，
∴BE=CE．
∴AC=AB．
∴∠CBA=∠BCA，而AD⊥AC，∠D=2∠B=60°．
∴∠BCA=30°，∠ACD=30°．
∴∠EAC=60°．
∴∠OCA=60°．
∴∠OCD=90°．
∴CD为⊙O的切线．

（2）∵AB=AC，
∴弓形AB和弓形AC的面积相等．
∴阴影部分的面积=直角三角形ADC的面积．
又∵BC=6，
∴CE=3．
在直角三角形CEA中，∠ACE=30°，
∴AC=．
在直角三角形CDA中，∠ACD=30°，
∴AD=2．
所以三角形ADC的面积等于，即阴影部分的面积为2．