Question

已知：如图，C为半圆O上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F．
（1）求证：AD=CD；
（2）若DF=，∠CAE=30°，求阴影部分的面积．

Answer

（1）根据等弧所对的圆周角相等，和互余的定义等量代换即可得出AD=CD；
（2）阴影部分的面积=扇形的面积-三角形的面积，根据面积公式计算即可．
（1）证明：∵弧AC=弧CE，
∴∠CAE=∠B．
∵CP⊥AB，
∴∠CPB=90°
∴∠B+∠BCP=90°．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACP+∠BCP=90°．
∴∠B=∠ACP．
∴∠CAE=∠ACP．（1分）
∴AD=CD．（2分）

（2）【解析】
连接OC，
∵∠CAE=30°，
∴∠ACD=30°，∠COA=60°．
∴∠CDF=60°．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
∴∠BCP=60°．
∴∠BCP=∠DCF=∠CFD=60°．
∴AD=CD=DF=．（3分）
∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形．
∴∠CAO=60°．
∴∠DAP=30°．
∵CP⊥OA，
∴AP=ADcos30°=2．
∴OA=2AP=4．（4分）
∴DP=ADsin30°=．
∴CP=CD+DP=2．（5分）
∴S阴影=S扇形-S△AOC=-=．（6分）