Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程-x²+bx+c=0的解为______；
（2）求此抛物线的解析式和顶点坐标．

Answer

（1）中直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，3两点，所以方程的解为x1=-1，x2=3．
（2）方法一：由图象看出抛物线的对称轴为x=1，则-=1，再代入交点坐标（3，0），即得抛物线的解析式．利用顶点公式求出顶点坐标（1，4）；
方法二：设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
方法三：或者利用交点式y=-（x-x1）（x-x2），求出解析式y=-（x+1）（x-3），然后求出顶点坐标（1，4）．
【解析】
（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点，
∴方程的解为x1=-1，x2=3（1分）

（2）解法一：由图象知：抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1，
且与x轴交于点（3，0）
∴（3分）
解得：（4分）
∴抛物线的解析式为：
y=-x2+2x+3
顶点（1，4）（5分）
解法二：设抛物线解析式为
y=-（x-1）2+k（2分）
∵抛物线与x轴交于点（3，0）
∴（3-1）2+k=0（3分）
解得：k=4（4分）
∴抛物线解析式为
y=-（x-1）2+4
即：抛物线解析式为
y=-x2+2x+3
顶点（1，4）（5分）
解法三：由（1）x1=-1，x2=3可
得抛物线解析式为
y=-（x-3）（x+1）（3分）
整理得：抛物线解析式为
y=-x2+2x+3
顶点（1，4）（5分）