Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．
（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线．

Answer

（1）连接OD．根据相等的圆心角所对的弧相等，证明∠COD=∠COB后得证；
（2）证明OD⊥CD即可．通过证明△COD≌△COB得∠ODC=∠OBC=90°得证．
证明：（1）连接OD．
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠COD，∠A=∠COB．          （1分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．                        （2分）
∴∠COD=∠COB．                               （3分）
∴弧BE=弧DE，即点E是弧BD的中点．              （4分）

（2）由（1）可知∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，，（5分）
∴△COD≌△COB，
∴∠CDO=∠CBO．               （6分）
∵BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥OB，即∠CBO=90°．                      （7分）
∴∠CDO=90°，即DC⊥OD．
∴CD是⊙O的切线．                             （8分）