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如图所示,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠OD...

如图所示,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.
(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长.

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(1)因为同弧所对的圆周角相等,所以有∠AEC=∠ABC,又∠AEC=∠ODB,所以∠ABC=∠ODB,OD⊥弦BC,即∠ABC+∠BOD=90°,则有∠ODB+∠BOD=90°,即BD垂直于AB,所以BD为切线. (2)连接AC,由于AB为直径,所以AC和BC垂直,又由(1)知∠ABC=∠ODB,所以有△ACB∽△OBD,而AC可由勾股定理求出,所以根据对应线段成比例求出BD. 【解析】 (1)直线BD和⊙O相切(1分) 证明:∵∠AEC=∠ODB,∠AEC=∠ABC ∴∠ABC=∠ODB(2分) ∵OD⊥BC ∴∠DBC+∠ODB=90°(3分) ∴∠DBC+∠ABC=90° ∴∠DBO=90°(4分) ∴直线BD和⊙O相切.(5分) (2)连接AC ∵AB是直径 ∴∠ACB=90°(6分) 在Rt△ABC中,AB=10,BC=8 ∴ ∵直径AB=10 ∴OB=5.(7分) 由(1),BD和⊙O相切 ∴∠OBD=90°(8分) ∴∠ACB=∠OBD=90° 由(1)得∠ABC=∠ODB, ∴△ABC∽△ODB(9分) ∴ ∴,解得BD=.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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