Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A开始，沿AB边向点B移动，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E、设点P运动时间为t秒（0＜t＜10），△PAD和△PBE的面积分别为S₁，S₂，
（1）当t=1时，求的值；
（2）在点P移动的过程中，是否存在t值，使得3S₁+S₂=24？若存在，求出这个t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知P点的移动速度，当t=1s时，AP=1，由题意可得，△APD∽△PBE，可知=，可得出的值；
（2）假设存在t值，使得3S1+S2=24，分别解直角三角形APD、PBE，可得到PD、PE、AD、BE关于t的关系式，在用它们表示面积，再由3S1+S2=24可得关于t的等式，即可求得t的值．
【解析】
（1）动点P以每秒1个单位长度的速度从点A开始，沿AB边向点B移动，
当t=1时，AP=1，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠A+∠APD=90°
∴∠A=∠BPE，∠APD=∠B
∴△APD∽△PBE
∴==
故当t=1时，=；

（2）假设存在t值，使得3S1+S2=24，则：
AP=t，PB=10-t，
由题意得，sin∠A=cos∠B=，cos∠A=sin∠B=，
∴==，==
∴PD=t，PE=（10-t），AD=t，BE=（10-t）
∵S1=×PD×AD=t2，S2=×PE×BE=（10-t）2
∴3×t2+（10-t）2=24
解得t=5s
∴存在t=5秒，使得3S1+S2=24．