Question

如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．

Answer

（1）根据中位线的判定GH=EF=，EH=FG=，所以四边形EFGH是平行四边形．
（2）根据菱形的判定，四边都相等的四边形是菱形，只要证明EF=FG=GH=HE就可以了，这就需要AB=CD这个条件．
（1）证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF=AB；GH∥AB，GH=AB．（2分）
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．（2分）

（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．（1分）
理由：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，
∴EF=AB，HG=AB，FG=CD，EH=CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH．
∴四边形EFGH是菱形．（3分）