Question

已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，
（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；
（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，
①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；
②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）由已知可得到∠APO=30°，根据HL判定△PAO≌△PBO，从而得到∠OPB=∠OPA=30°．
（2）①由（1）知△PAO≌△PBO，得到∠POB=∠POA；再利用AAS判定△AOC≌△BOD，从而得到AC=BD；
②本题要充分利用l=2AP的条件．延长射线PA到F，使AF=BD；易证得△OAF≌△OBD（SAS），得OF=OD；
由于l=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；
在△OCF和△OCD中，OF=OD，OC=OC，FC=CD；可证得△OCF≌△OCD，那么两三角形的对应边上的高也相等，则过O作OE⊥CD，则OE=OA，由此可证得CD与⊙O相切．
【解析】
（1）∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°；
又∠AOP=60°，
∴∠APO=30°；
由切线长定理知AP=BP，∠PBO=∠PAO=90°；
又OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（HL）；
∴∠OPB=∠OPA=30°．

（2）①证明：由（1）中知△PAO≌△PBO；
∴∠POB=∠POA，又∠COP=∠DOP；
∴∠COA=∠DOB，而∠CAO=∠DBO=90°，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD；
∴AC=BD；
②延长射线PA到F使AF=BD，
∵OA=OB，∠OAF=∠OBD；
∴△OAF≌△OBD；
∴OF=OD；
∵△PCD的周长为l，l=2AP，
∴l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；
∴CD=AC+BD，
∵AF=BD，
∴CF=CD；
又∵OC=OC，OF=OD；
∴△OFC≌△OCD（SSS）；
所以CF和CD边上所对应的高也应该相等．
过OE⊥CD于E，则OE=OA=R（R为半径长度）；
所以CD与⊙O相切．