Question

如图直角△ABC中，∠C=90°．
（1）画出△ABC的内切圆，圆心为O，与边AB、AC、BC分别相切于D、E、F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）直接写出∠AOB的度数：∠AOB=______度．
（3）若AD=6，BD=4，求△ABC的面积．

Answer

（1）分别作出∠BAC，∠ABC的平分线，交于点O，以点O为圆心，以O到一边的距离为半径画圆即可；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义可得∠AOB=90°+∠C，把相关数值代入即可求解；
（3）根据勾股定理可求得CE长，也就求得了AC及BC长，利用三角形的面积公式可得所求的三角形的面积．
【解析】
（1）如图所示：

（2）∠AOB=180°-（∠OAD+∠OBD）
=180°-（∠CAB+∠ABC）
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C=135°；

（3）设CE=x．
∵CE=CF，AE=AD，BF=BD，
∴AC=6+x，BC=4+x，
在△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴102=（6+x）2+（4+x）2，
解得x1=2，x2=-12（不合题意，舍去）．
∴AC=8，BC=6，
∴△ABC的面积为×8×6=24．