Question

关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根α、β．
（1）求k的取值范围；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．

Answer

（1）由于关于x的一元二次方程x2+（2k-3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β，那么其判别式应该是一个正数，由此即可求出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可以得到α+β=-（2k-3），αβ=k2，而α+β+αβ=6，由此可以求出k的值，再把（α-β）2+3αβ-5变为（α+β）2-αβ-5，代入前面的值就可以求出结果．
【解析】
（1）∵方程x2+（2k-3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0即（2k-3）2-4×1×k2＞0
解得k＜；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2k-3），αβ=k2．
∵α+β+αβ=6，
∴k2-2k+3-6=0
解得k=3或k=-1，
由（1）可知k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1，
故（α-β）2+3αβ-5=（α+β）2-αβ-5=19．