Question

如图已知直线L：y=x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）．
（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式．
（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令x=0以及y=0代入直线解析式可求出A，B的坐标；
（2）做PD⊥y轴于D，根据勾股定理得出PB2=PD2+BD2，BP2=PD2+BD2．得出y与x的关系式即可；
（3）依题意可得AB2=OA2+OB2=AF2=52，求出关于x的值代入解析式，求出y值即可，求出点P的坐标．
【解析】
（1）令y=0得x=-4，令x=0得，y=3，
∴A（-4，0），B（0，3）；

（2）如图：

（3）过点P作PD⊥y轴于D，则PD=|x|，BD=|3-y|，PB=PF=y，
∵△BDP为直角三角形，
∴BP2=PD2+BD2，
即|y|2=|x|2+|3-y|2，
y2=x2+（3-y）2，
∴y与x的函数关系为y=x2+；

（4）存在．
【解析】
∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，
∴AB=AF，
∵AB2=OA2+OB2=52，
∴AF2=52，
∵AF=|x+4|，
∴（x+4）2=52，
∴x=1或x=-9，
把x=1或x=-9代入y=x2+，
得y=或y=15，
∴点P的坐标为（1，）或（-9，15）．