Question

等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．

Answer

（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF=60°，主要再证得PE=PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现；
（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在三角形CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角三角形BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP=x，则CP=6-x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可．
【解析】
（1）∵PE⊥AB，∠B=60°，
因此直角三角形PEB中，BE=BP=BC=PC，
∴∠BPE=30°，
∵∠EPF=60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP=PF，
∵∠EPF=60°，
∴△EPF是等边三角形．

（2）过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=BC=4，BE=CP=BC=2，
在三角形FCP中，∠PFC=90°-∠C=30°，
∵∠PFE=60°，
∴∠GFC=90°，
直角三角形FGC中，∠C=60°，CF=4，
∴GC=2CF=8，
∴GB=GC-BC=2，
直角三角形BEP中∠EBP=60°，BP=4，
∴PE=2，BE=2，
∴EH=BE•PE÷BP=，
∴S△GBE=BG•EH=；

（3））∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠EPF=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴，
设BP=x，则CP=6-x．
∴=，
解得：x=2或4．
当x=2时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
过E作EH⊥BC于H，
则EH=BE•sin∠B=2，BH=2，
∴PH=0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x=2不合题意，舍去；
当x=4时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE=4．
故PE=4．