Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

Answer

（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；
（2）s=•BD•AE；
（3）运用函数性质求解．
【解析】
（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴．（2分）
又∵AD=8-2x，AB=8，AE=y，AC=6，
∴．
∴．（3分）
自变量x的取值范围为0≤x≤4．（4分）

（2）S=BD•AE=•2x•y（6分）
=-x2+6x（8分）

（3）S=-x2+6x
=-x2+6x+9-9
=-（x-2）2+6．（10分）
∴当x=2时，S有最大值，且最大值为6．（11分）