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如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA...

如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.
(1)求证:BC是⊙O切线;
(2)若BD=5,DC=3,求AC的长.

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(1)要证BC是⊙O的切线,只要连接OD,再证OD⊥BC即可. (2)过点D作DE⊥AB,根据角平分线的性质可知CD=DE=3,由勾股定理得到BE的长,再通过证明△BDE∽△BAC,根据相似三角形的性质得出AC的长. (1)证明:连接OD; ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠1=∠3.(1分) ∵OA=OD, ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3. ∴∥AC.(2分) ∴∠ODB=∠ACB=90°. ∴OD⊥BC. ∴BC是⊙O切线.(3分) (2)【解析】 过点D作DE⊥AB, ∵AD是∠BAC的平分线, ∴CD=DE=3. 在Rt△BDE中,∠BED=90°, 由勾股定理得:,(4分) ∵∠BED=∠ACB=90°,∠B=∠B, ∴△BDE∽△BAC.(5分) ∴. ∴. ∴AC=6.(6分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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