Question

如图，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、E．
（1）若△ABC为等边三角形，则的值为1，求∠AFB的度数；
（2）若△ABC满足∠ACB=60°，AC=，BC=，①求的值和∠AFB的度数；②若E为BC的中点，求△OBC面积的最大值．

Answer

（1）求的值，可以通过证明△CBE′≌△CAD′，得到AD′=BE′求出，求∠AFB的度数，通过△AOF与△BOC比较得出；
（2）求的值和∠AFB的度数，可以通过证明△CBE′∽△CAD′得到；要求△OBC面积的最大值，因为∠ACB=60°，BC=，即求CO的最大值，用面积公式结合三角函数可以得出．
【解析】
（1）连接D'E'，

∵△ABC为等边三角形，DE∥AB，
∴△CED，△CD'E'为等边三角形．
∴CD'=CE'，∠BCA+∠ACE′=∠D′CE′+∠ACE′即∠BCE′=∠D′CA，AC=CB
∴△CBE′≌△CAD′（SAS），
∴∠CAF=∠CBO，AD′=BE′，
∴的值为1，
∵∠CAF=∠CBO，
∴∠ABO+∠BAF=120°，
∴∠AFB=60°．

（2）∵AC=，BC=，DE∥AB，
∴CA：CB=：，CD：CE=：=CD′：CE′，
∴CA：CB=CD′：CE′=：，
∵∠BCE′=∠D′CA，
∴△CBE′∽△CAD′，
∴=，∠CBF=∠CAD′，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°：当CO=，△OBC面积的最大值=0.5BC•sin∠ACB•CO=．