Question

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

Answer

（1）由于若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2=20，解这个方程即可求出x的值；
（2）由于当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧．
以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：
①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；
②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可．
【解析】
（1）∵P，N重合，
∴2x+x2=20，
∴，（舍去），
∴当时，P，N重合；

（2）因为当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，依题意得
20-（x+3x）=20-（2x+x2），
解得x1=0（舍去），x2=2，
当x=2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，依题意得
20-（x+3x）=（2x+x2）-20，
解得x1=-10（舍去），x2=4，
当x=4时四边形NQMP是平行四边形，
所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．