Question

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°．
（1）求作△AOB的外接圆圆心P，并求出P点的坐标；
（2）若⊙P与y轴交于点D，求D点的坐标；
（3）若CD是⊙P的切线，求直线CD的函数解析式．

Answer

（1）设⊙P与y轴交于D点，连接AD，因为∠AOD=90°，根据圆周角定理可知，AD为⊙O的直径，则圆心P为AD的中点，利用解直角三角形 求OD，再利用中点坐标公式求P点坐标．
（2）在直角三角形ADO中，因为∠ADO=∠ABO=60°，OA=3，然后即可求出OD，即得D点的坐标．
（3）连接PO，先求出C点的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式．
【解析】
（1）连接AD，则圆心P为AD的中点，
在直角三角形ADO中，∠ADO=∠ABO=60°，
∴tan60°=，则OD==，
∴P点的坐标为（）．

（2）在直角三角形ADO中，
∵∠ADO=∠ABO=60°，OA=3，
∴，
∴OD=，
∴D点的坐标为（0，）；

（3）连接PO，则PD=PO；
∵∠PAO=90°-60°=30°，
∠POD=∠PDO=60°，
∵CD是⊙P的切线，
∴∠PDC=90°，
∴∠CDO=30°，
∴在Rt△DCO中，tan30°=，OD=，
∴OC=1，
∴C点的坐标为（-1，0）；
可设直线CD的解析式为y=kx+b，
将C，D两点的坐标代入解析式，解得，
∴直线CD的解析式：．