Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），
（1）试求抛物线的解析式；
（2）设点D是该抛物线的顶点，试求直线CD的解析式；
（3）若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer

（1）设出交点式，把点C坐标代入即可求解；
（2）设出直线解析式，把C，D两点坐标代入即可求解；
（3）向上平移时，把点E，F坐标代入设出的函数解析式求得最大范围即可；向下平移时，设出相应的二次函数解析式，与直线解析式组成方程组，让判别式为非负数求值即可．
【解析】
（1）抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
∵抛物线与y轴交于点C（0，8），
∴-8a=8，解得a=-1，
∴y=-x2+2x+8；

（2）∵y=-x2+2x+8，
∴顶点坐标为（1，9），
设过CD的解析式为y=kx+b，
∴b=8，k+8=9，
解得k=1，
∴过CD的解析式为y=x+8；
若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=-8时，y=-72+m．
当x=4时，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．
②若抛物线向下移，可设解析式为y=-x2+2x+8-m（m＞0）．
由，
有x2-x+m=0．
∴△=1-4m≥0，
∴0＜m≤．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．