Question

某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．

x（元/件）	35	40	45	50	55
y（件）	550	500	450	400	350

（1）试求y与x之间的函数表达式；
（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价-成本总价）；
（3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？

Answer

（1）方法一，根据图中表格可知：每天的销售单价x增加5元，销售量y减少50件，故每天的销售量y和销售单价x之间为一次函数的关系，故可用待定系数法将y与x之间的函数表达式求出；方法二，设y与x之间满足二次函数表达式，将表格中任意三个值代入，可将该函数求出；
（2）方法一，根据：毛利润=（每件产品的销售价-成本）×销售量，可求出S与x之间的函数表达式；方法二，根据：毛利润=销售总价-成本总价，也可求出S与x之间的函数表达式；
（3）由（2）知，当x=-时，二次函数能取得极值．
【解析】
（1）解法1：设y与x之间的函数关系满足y=kx+b
把x=40，y=500；x=50，y=400
分别代入上式得：
，
解得
∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；
解法2：设y与x之间的函数关系满足y=ax2+bx+c
把x=35，y=550；x=40，y=500；x=50，y=400分别代入上式
得
解，得∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；

（2）方法1：毛利润S=（x-30）•y
=（x-30）（-10x+900）
=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）
方法2：毛利润S=xy-30y
=x•（-10x+900）-30×（-10x+900）
=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）；

（3）在S=-10x2+1200x-27000中
∵a=-10＜0，∴当时
∴S最大=-10×602+1200×60-27000=9000（元）
此时每天的销售量为：y=-10×60+900=300（件）．
∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件．