Question

如图1，已知：抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=x-2，连接AC．
（1）B、C两点坐标分别为B（______，______）、C（______，______），抛物线的函数关系式为______；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）令x=0以及y=0代入y=x-2得出B，C的坐标．把相关坐标代入抛物线可得函数关系式．
（2）已知AB，AC，BC的值，根据反勾股定理可证明△ABC是直角三角形．
（3）证明△CGF∽△CAB，利用线段比求出有关线段的值．求出S矩形DEFG的最大值．再根据△ADG∽△AOC的线段比求解．
【解析】
（1）令x=0，y=-2，
当y=0代入y=x-2得出：x=4，
故B，C的坐标分别为：
B（4，0），C（0，-2）．（2分）
y=x2-x-2．（4分）

（2）△ABC是直角三角形．（5分）
证明：令y=0，则x2-x-2=0．
∴x1=-1，x2=4．
∴A（-1，0）．（6分）
解法一：∵AB=5，AC=，BC=2．（7分）
∴AC2+BC2=5+20=25=AB2．
∴△ABC是直角三角形．（8分）
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．（7分）
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．（8分）

（3）能．①当矩形两个顶点在AB上时，如图1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴．（9分）
解法一：设GF=x，则DE=x，
CH=x，DG=OH=OC-CH=2-x．
∴S矩形DEFG=x•（2-x）=-x2+2x=-（x-）2+．（10分）
当x=时，S最大．
∴DE=，DG=1．
∵△ADG∽△AOC，
∴，
∴AD=，
∴OD=，OE=2．
∴D（-，0），E（2，0）．（11分）
解法二：设DG=x，则DE=GF=．
∴S矩形DEFG=x•=-x2+5x=-（x-1）2+．（10分）
∴当x=1时，S最大．
∴DG=1，DE=．
∵△ADG∽△AOC，
∴，
∴AD=，
∴OD=，OE=2．
∴D（-，0），E（2，0）．（11分）
②当矩形一个顶点在AB上时，F与C重合，如图2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴．
解法一：设GD=x，
∴AC=，BC=2，
∴GF=AC-AG=-．
∴S矩形DEFG=x•（-）=-x2+x
=-（x-）2+．（12分）
当x=时，S最大．∴GD=，AG=，
∴AD=．
∴OD=∴D（，0）（13分）
解法二：设DE=x，
∵AC=，BC=2，
∴GC=x，AG=-x．
∴GD=2-2x．
∴S矩形DEFG=x•（2-2x）=-2x2+2x=-2（x-）2+（12分）
∴当x=时，S最大，
∴GD=，AG=．
∴AD=．
∴OD=
∴D（，0）（13分）
综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为（-，0），（2，0）
当矩形一个顶点在AB上时，坐标为（，0）．（14分）