Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）连接DE，DE=，求EM的长．

Answer

（1）将乘积式化为比例式，然后证对应的三角形相似即可，即连接BE、AC，证△ACM∽△EBM；
（2）M是OB的中点，由此可求出AM、BM的长；Rt△DEC中，由勾股定理易求得EC的长，进而可用EM表示出MC，再将这些数据代入（1）的乘积式中，即可求出EM的长．
（1）证明：连接BE、AC．
由圆周角定理，得：∠MEB=∠MAC，∠MBE=∠MCA
∴△MEB∽△MAC
∴，即AM•MB=EM•MC；

（2）【解析】
∵M是OB的中点，
∴OM=MB=2，AM=OA+OM=6
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°
Rt△DEC中，DE=，CD=8
由勾股定理，得：CE=7
∴MC=CE-EM=7-EM
由（1）知：AM•MB=EM•MC，即：
（7-EM）×EM=6×2，解得EM=4（EM＞MC）
所以EM的长为4．