Question

（1）探索：解下列方程，将得到的两根x₁，x₂和x₁+x₂，x₁•x₂的值填入下面的表格．

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
x^2+3x-4=0
2x^2+x-1=0
3x^2-5x+2=0

（2）猜想：x₁+x₂，x₁•x₂的值与一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）（x₁，x₂是其两个根）的各项系数a，b，c之间有何关系？
（3）利用一元二次方程的求根公式证明（2）中的猜想．

Answer

（1）对方程分解因式求【解析】

第一个：（x+4）（x-1）=0，x1=-4，x2=1；
第二个：（2x-1）（x+1）=0，x1=，x2=-1；
第三个：（3x-2）（x-1）=0，x1=，x2=1．并分别计算出两根之积，两根之和填入表格中．
（2）（3）首先求出方程的两个实根，求和，求积，即可证明根与系数的关系为：x1+x2=-，x1x2=．
【解析】
（1）
方程    x1 x2 x1+x2 x1•x2
x2+3x-4=0 -4  1 -3 -4
2x2+x-1=0    -1 - -
3x2-5x+2=0     1        

（2）根与系数的关系为：x1+x2=-，x1x2=．

（3）对于方程：ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数），当△≥0时，利用求根公式，得
x1=，x2=-．
x1+x2=+-=-，
x1x2=（）•（-）=（）2-（）2=．
∴x1+x2=-，x1x2=是正确的．