Question

如图，∠AOB=90°，将三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F．
（1）证明：PE=PF；
（2）若OP=10，试探索四边形PEOF的面积为定值，并求出这个定值．

Answer

（1）如果过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．首先利用角平分线的性质得出PM=PN，然后由ASA证出△PME≌△PNF，从而得出PE=PF；
（2）首先证明四边形ONPM是正方形，然后由（1）知△PME≌△PNF，则四边形PEOF的面积=正方形ONPM的面积，又正方形ONPM的对角线OP=10是一个定值，从而得出四边形PEOF的面积为定值，并求出结果．
【解析】
（1）过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
又∵P为∠AOB的平分线OC上的任意一点，
∴PM=PN．
又知∠MPN=∠EPF=90°，
故∠EPM=∠FPN=90°-∠EPN，
在△PME与△PNF中，
∵，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PE=PF；

（2）∵∠OMP=∠MON=∠ONP=90°，
∴四边形ONPM是矩形，
∵PM=PN，
∴矩形ONPM是正方形．
由（1）知△PME≌△PNF，
∴四边形PEOF的面积=正方形ONPM的面积．
又∵OP=10，
∴正方形ONPM的面积=10×10÷2=50，
∴四边形PEOF的面积=50．