如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数在第一象限的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S
1与四边形OABD的面积S满足:S
1=
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S?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
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已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
(Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;
(Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;
(Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标.
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在平行四边形ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF(如图1)
(1)在图1中画图探究:
①当P为射线CD上任意一点(P
1不与C重合)时,连接EP
1;绕点E逆时针旋转90°得到线段EG
1.判断直线FG
1与直线CD的位置关系,并加以证明;
②当P
2为线段DC的延长线上任意一点时,连接EP
2,将线段EP
2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG
2.判断直线G
1G
2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若AD=6,tanB=
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,AE=1,在①的条件下,设CP
1=x,S
△P1FG1=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
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已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,cosC=
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时,求⊙O的半径.
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已知关于x的一元二次方程2x
2+4x+k-1=0有实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=2x
2+4x+k-1的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线y=
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x+b(b<k)与此图象有两个公共点时,b的取值范围.
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在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30m,BC=70m,∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.
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