Question

如图，AB是⊙O的直径，BC=AB，连接AC交⊙O于D，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD=DC；
（2）求证：DE是⊙O的切线．

Answer

（1）连接BD．利用等腰三角形三线合一的性质得证；（2）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．运用三角形的中位线定理可得OD∥BC，又DE⊥BC，所以可得OD⊥DE．
证明：（1）连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
又∵BC=AB，
∴△ABC是等腰三角形．
∴BD为等腰三角形△ABC底边的高，
∴AD=DC．

（2）连接OD．
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO．
又∵BA=BC，
∴∠A=∠C．
∴∠C=∠ADO．
又∵DE⊥CE，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°．
又∵D在圆上，
∴DE是切线．