Question

在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC．
（1）试写出四边形DFCE的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm²？
（3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由．
（4）四边形DFCE的面积S（cm²）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．

Answer

（1）可用t分别表示出AD、DE、BD、BF的长，由△ABC、△ADE、△BDF的面积差即可求得S、t的函数关系式．
（2）将S的值代入（1）的函数关系式中，即可求得t的值．
（3）将S=40代入（1）的函数解析式中，如果所得方程有解，根据求得的t值即可确定D到A的距离，若方程无解，则说明四边形的面积不能成为40．
（4）将（1）的解析式化为顶点坐标式，利用二次函数最值的相关知识进行求解即可．
【解析】
∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
①S=×12×12-×2t×2t-（12-2t）2=-4t2+24t（0≤t≤6）．

②当S=20时，-4t2+24t=20，
t2-6t+5=0，
解得t1=5，t2=1；
因此当t=1s或5s时，四边形的面积为20cm2．

③当S=40时，-4t2+24t=40，
t2-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴四边形的面积不能为40．

④四边形面积有最大值，
S=-4t2+24t=-4（t-3）2+36；
当t=3时，有最大值36，
此时D离A点6cm，D为AB的中点．