Question

如图，已知∠MAO=90°，△ABC为等边三角形，OA=4，AB=a，以O为圆心的圆经过C点（即C点在⊙O上）．
（1）当⊙O与AC相切于点C时，a的值是多少？
（2）当a=2时，试探究⊙O与AB是什么位置关系？
（3）将△ABC绕B点逆时针旋转120°后，得到△BEF，若EF所在的直线与⊙O相切，问此时a的值是多少？

Answer

（1）△ABC是等边三角形，则AB=AC，∠BAC=60°；在Rt△OAC中，根据OA的长和∠OAC的度数，易求得AC的长，即可得到关于a的等量关系式，由此得解；
（2）过O作AC的垂线，设垂足为D；同（1）可求得AD的长，此时发现AC=2AD，即OD垂直平分AC，得OA=OC，则OA为⊙O的半径，而OA⊥AM，所以此时⊙O与AB相切；
（3）延长FE交AO的延长线于N，过O作OP⊥EN于P；过C作CD⊥AO于D；可用a分别在Rt△AFN和Rt△ACD中表示出AN、AD、CD的长，进而可表示出OD、ON、OP的长；由于⊙O与FN相切，那么此时⊙O同时经过C、P两点，则OP=OC，可据此列出关于a的等量关系式求出a的值．
【解析】
（1）∵⊙O与AC相切于C，
∴OC⊥AC于C，
又∵∠OAM=90°，△ACB为等边三角形，则：
AC=AB=，∠OAC=30°，OC=AO=2，
∴42=22+（）2，
∴a=1；

（2）∵a=2，∴AB=AC=4，
过O作OD⊥AC于D，在直角△AOD中，
∠OAC=90°-60°=30°，OA=4，
∴OD=2，AD=，
∴DC=AD=2，
∴OD垂直平分AC，则半径OC=OA=4；
∵∠OAM=90°
∴⊙O与AB相切；

（3）延长FE交射线AO于N，作OP⊥EN于P，CD⊥AO于D，
易得CD=a，AD=3a，OD=4-3a；
∵AF=4a，∠ANF=30°，
∴AN=12a，ON=12a-4，
∴OP=6a-2，
∵OP=OC，即OP2=OC2，
∴（6a-2）2=（a）2+（4-3a）2，
a=．